万物皆“数”|小数手把手教你开根号

手动开根号？

数学系必备技能

考试神器

···

无论你是初中生、高中生，还是大学生

相信都会在考试题上见过一些奇奇怪怪的根号

但你有没有想过

这些根号背后的真实面目是什么样呢？

#01

·· 《九章算术》 ··

开方术

其实早在九章算术中就已经记载了“徒手开根号”相关算法。

问：“今有积五万五千二百二十五步，问为方几何”

答：“置积为实.借一算。步之，超一等.议所得，以一乘所借一算为法而以除.除已，倍法为定法.其复除，折法而下.复置借算步之如初.以复议一乘之，所得副，以加定法，以除.以所得副从定法，复除下折如前....”

看不懂没关系，接下来让小数为你慢慢解答。

其实这道题就是对55225开根号。

首先从非零数开始，从后往前对55225两两分组为（若为结果不是有理数则继续将小数点后的0两两分组）。

考虑两个相同个位数，其乘积为不超过5的最大整数。

.

将这两个数加起来作为第二步的十位数， 这个数的个位与该数本身的乘积最大且不超过152。

同理，将43和3相加得46，4，6分别为第三步数的百位和十位数，这个数的个位与该数本身的乘积最大且不超过2325。

这样我们就得到了55225的开方数——235。

怎么样是不是炒鸡简单？来练练手吧！

#02

·· 牛顿二项式定理 ··

我们高中就学过的二项式定理也同样可以做到这件事，只不过我们需要再进一步推广为

具体证明不再赘述，显然我们取α为任意时，无论是几阶根号都易如反掌了。

直接套用公式得到：

可以看到这和我们计算器得到的结果非常接近了。

其实早在《九章算术》中也有“二项式定理”的记载。

杨辉三角与二项式定理异曲同工

牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。

在计算器尚未出现的年代，能有如此高精度的算法简直可以称得上是神乎其技。总之，学无止境，祝各位期末顺利！

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-END-

编辑 | 郭 杰

审阅 |王 琴

指导老师|李庚 戴雨桐

图源网络侵删

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