伴随矩阵的定义、求解步骤及应用详解

[

M_{12} = begin{vmatrix} 0 & 4 5 & 0 end{vmatrix} = (0)(0) - (4)(5) = -20

]

对于 ( a_{13} = 3 )，余子式 ( M_{13} ) 是：

[

M_{13} = begin{vmatrix} 0 & 1 5 & 6 end{vmatrix} = (0)(6) - (1)(5) = -5

]

以此类推，我们可以计算出所有余子式。最终，我们得到的余子式矩阵为：

[

begin{pmatrix}

-24 & -20 & -5

30 & -15 & -5

6 & 12 & -1

end{pmatrix}

]

计算代数余量

接下来，我们需要计算代数余量。代数余量的计算就是在余子式的基础上乘以 ( (-1)^{i+j} )。

( C_{11} = (-1)^{1+1} cdot M_{11} = 1 cdot (-24) = -24 )

( C_{12} = (-1)^{1+2} cdot M_{12} = -1 cdot (-20) = 20 )

( C_{13} = (-1)^{1+3} cdot M_{13} = 1 cdot (-5) = -5 )

继续计算其他元素，最终得到代数余量矩阵：

[

begin{pmatrix}

-24 & 20 & -5

30 & 15 & 5

6 & -12 & -1

end{pmatrix}

]

转置得到伴随矩阵

最后一步是将代数余量矩阵转置，得到伴随矩阵 ( ext{adj}(A) )：

[

ext{adj}(A) = begin{pmatrix}

-24 & 30 & 6

20 & 15 & -12

-5 & 5 & -1

end{pmatrix}

]

伴随矩阵有几个重要的性质，了解这些性质有助于我们更好地应用伴随矩阵。

与原矩阵的关系：对于任意的 ( n imes n ) 矩阵 ( A )，有 ( A cdot ext{adj}(A) = det(A) I )，其中 ( I ) 是单位矩阵，( det(A) ) 是矩阵 ( A ) 的行列式。

求逆矩阵：如果矩阵 ( A ) 是可逆的（即 ( det(A)

eq 0 )），那么其逆矩阵可以表示为：

[

A^{-1} = frac{1}{det(A)} cdot ext{adj}(A)

]

行列式的性质：伴随矩阵的行列式与原矩阵的行列式有关系。具体来说，( det( ext{adj}(A)) = (det(A))^{n-1} )。

伴随矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，掌握伴随矩阵的求解方法对于深入理解矩阵的性质和应用是非常有帮助的。通过上面的例子，我们可以看到，虽然求伴随矩阵的过程看似复杂，但只要按照步骤进行，认真计算每一个余子式和代数余量，就能得到正确的结果。希望这篇文章能帮助你更好地理解伴随矩阵的求解方法及其应用。

内容摘自：https://news.huochengrm.cn/cygs/5995.html返回搜狐，查看更多